Lời giải cho bài toán dãy số Kim tự tháp

Lời giải cho bài toán dãy số Kim tự tháp

Hôm nay trên forum của grokking.org có đăng một bài toán như sau:

Đề bài:

Cho dãy số sau:

    1
  2 3 4
5 6 7 8 9

Hỏi tổng của dòng thứ N là gì?

Lời giải:

Viết lại dãy số

    1
  3 3 3
7 7 7 7 7

Đến đây, bài toán trở thành việc xác định số tại dòng thứ N là số mấy (Xn) và có bao nhiêu số như vậy (Yn).

Khi đó, tổng tại dòng thứ N là Sn = XnYn.

Ta có các nhận xét sau:

n = 1: X1 = 1

n = 2: X2 = 3 = 1+2.1

n = 3: X3 = 7 = 1+3.2

...

n = m: Xm = 1+m(m-1)

Chứng minh bằng quy nạp => Xn = 1+n(n – 1)

Đã có công thức tính X, bây giờ ta đi tìm công thức tính Y. Tương tự:

n = 1: Y1 = 1 = 2.1-1

n = 2: Y2 = 3 = 2.2-1

n = 3: Y3 = 5 = 2.3-1

...

n = m: Ym = 2m-1

Chứng minh bằng quy nạp ta tìm được công thức tính Yn = 2n-1

Suy ra Sn = XnYn = [1 + n(n – 1)](2n – 1) = 2n33n2 + 3n – 1.

Công thức thì đúng chứ không sai. Tuy nhiên, nếu để ý thì

Sn = n3 + (n-1)3

Vậy câu hỏi mới đặt ra ở đây là có cách tiếp cận nào để cho ra Sn = n3 + (n-1)3 luôn hay không?

%d bloggers like this: