Lời giải cho bài toán dãy số Kim tự tháp

Hôm nay trên forum của grokking.org có đăng một bài toán như sau:

Đề bài:

Cho dãy số sau:

    1
  2 3 4
5 6 7 8 9

Hỏi tổng của dòng thứ N là gì?

Lời giải:

Viết lại dãy số

    1
  3 3 3
7 7 7 7 7

Đến đây, bài toán trở thành việc xác định số tại dòng thứ N là số mấy (Xn) và có bao nhiêu số như vậy (Yn).

Khi đó, tổng tại dòng thứ N là Sn = XnYn.

Ta có các nhận xét sau:

n = 1: X1 = 1

n = 2: X2 = 3 = 1+2.1

n = 3: X3 = 7 = 1+3.2

...

n = m: Xm = 1+m(m-1)

Chứng minh bằng quy nạp => Xn = 1+n(n – 1)

Đã có công thức tính X, bây giờ ta đi tìm công thức tính Y. Tương tự:

n = 1: Y1 = 1 = 2.1-1

n = 2: Y2 = 3 = 2.2-1

n = 3: Y3 = 5 = 2.3-1

...

n = m: Ym = 2m-1

Chứng minh bằng quy nạp ta tìm được công thức tính Yn = 2n-1

Suy ra Sn = XnYn = [1 + n(n – 1)](2n – 1) = 2n33n2 + 3n – 1.

Công thức thì đúng chứ không sai. Tuy nhiên, nếu để ý thì

Sn = n3 + (n-1)3

Vậy câu hỏi mới đặt ra ở đây là có cách tiếp cận nào để cho ra Sn = n3 + (n-1)3 luôn hay không?